Родился 26 мая 1944 года в Москве. Сын трубача Михаила Фрумкина, игравшего в 1930−1940 годы в джаз-оркестре Александра Цфасмана.
Начал играть на фортепиано уже в пять лет. В 1962 году с серебряной медалью окончил Центральную музыкальную школу при Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского по классу фортепиано, в 1962−1963 учился в этой же консерватории на фортепианном отделении.
Начал играть джаз в 1959 году, в 1965 выступал на фестивале в Москве со своим квинтетом (с Андреем Товмасяном и Виталием Клейнотом).
В 1966−1973 — пианист и аранжировщик в Концертном эстрадном оркестре Вадима Людвиковского.
В составе оркестра, а также квинтета солистов («РТ-квинтет», «Крещендо») выступал на фестивалях в Москве, Таллине, Праге и Варшаве (1967−1968).
С 1973 года — пианист и аранжировщик в ансамбле «Мелодия», после ухода Георгия Гараняна стал художественным руководителем и дирижёром ансамбля — с 1982 года и до конца существования ансамбля.
В 1988 году Борис Фрумкин со своим ансамблем участвует как пианист и дирижер в первой совместной советско-американской постановке мюзикла на музыку Дюка Эллингтона «Настоящая леди» (Sophisticated Ladies) при спонсорской поддержке «American Express» и под патронажем первой леди США Нэнси Рейган.
С 1996 года проживает в Германии, изредка приезжая в Россию для выступлений.
С 2007 года — художественный руководитель Государственного камерного оркестра джазовой музыки имени Олега Лундстрема.[1]
Стиль исполнения Фрумкина — блестящий, виртуозный. Фрумкин отличается плотным, тембристым звуком, безукоризненной техникой, чутким и верным прочтением материала музыкальной пьесы. Будучи по складу характера лидером, солистом, Фрумкин успешно исполняет аккомпанирующие партии в инструментальных ансамблях и для вокалистов.
Заслуженный артист РСФСР (1987).
роли в кино
1982 Любимые песни (короткометражный) :: пианист
1976 Город. Осень. Ритм. (короткометражный) :: пианист ансамбля "Мелодия"
участие в фильмах
1976 Грустить не надо! (документальный) :: музыкант ансамбля "Мелодия"
рояль, электроорган, виброфон
1967 Фестиваль джаза (документальный)
архивные кадры
2010 Спето в СССР (документальный)
Композитор
2007 Глянец
1985 Когда становятся взрослыми
1982 Время для размышлений
1981 Шофёр на один рейс1980 Гость (короткометражный)
1980 Глубокие родственники (короткометражный)
1980 Бенефис Татьяны Дорониной1979 Бабушки надвое сказали...
