Родился 15 января 1931 года в Баку. Лакец по национальности.
Заслуженный деятель искусств РСФСР (23.04.1960).
Народный артист РСФСР (17.01.1978)
Народный артист СССР (1981).
Родился в семье выдающегося врача, доктора медицинских наук, профессора-ларинголога. Его музыкальные способности проявились очень рано. Учился в музыкальной средней школе при Азербайджанской государственной консерватории по классу фортепиано в группе "детей с абсолютным слухом".
В годы войны 12-летний Мурад вместе со своим первым ансамблем из школьных друзей выступал с концертами для раненых.
После окончания средней школы поступил в консерваторию, но затем бросил занятия музыкой и поступил в Азербайджанский государственный индустриальный институт.
Однако призвание брало свое - Мурад пришел к ректору консерватории К. Караеву и попросил дать ему еще одну возможность и продолжить занятия у профессора Б. И. Зейдмана, который поддержал его просьбу. Кажлаев вновь был принят, но условно.
В 1954 году, еще будучи студентом консерватории, благодаря своему дарованию становится членом Союза композиторов СССР.
В 1955 году окончил Бакинскую консерваторию и переехал в Дагестан.
Преподаватель музыкального училища им. П. И. Чайковского (Махачкала, 1955—1958), главный дирижёр симфонического оркестра Дагестанского радио (1957—1958), художественный руководитель Дагестанской филармонии (1963—1964).
Председатель правления Союза композиторов Дагестанской АССР (1963—1973), секретарь правления СК РСФСР (с 1968).
Автор первого дагестанского балета "Горянка" (1967).
С 1989 до 2007 года — главный дирижер и художественный руководитель Академического Большого концертного оркестра Гостелерадио.
В списках сочинений свыше 350 названий, многие из них звучат в 25 дисках, выпущенных в России, Германии, США и Италии.
Депутат Верховного Совета Дагестанской АССР с 1963 года.
В 1993—1996 годах — депутат Государственной думы Федерального Собрания РФ 1 созыва.
призы и награды
Международный конкурс молодых композиторов к 7-му Всемирному фестивалю молодежи и студентов в Вене (1959, «Золотая медаль» и диплом первой степени) - за "Концертную лезгинку".
3-й Международный фестиваль джазовой музыки в Праге (1966, 2-я премия и специальная приз им. Ярослава Ежика).
Государственная премия РСФСР имени М. И. Глинки (1970) — за балет «Горянка», поставленный на сцене ЛАТОБ имени С. М. Кирова.
Государственная премия Дагестанской АССР (1967).
Государственная премия Республики Дагестан (1997).
Орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени (1995).
Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени (2008).
Орден «За заслуги перед Республикой Дагестан» (2011).
Почетное звание и знак «Рыцарь науки и искусства» (2006, награда РАЕН).
участие в фильмах
1997 Воспоминание (документальный)
Композитор
2005 Талисман любви
1992 Шамиль1991 Тайна рукописного Корана1985 Неудобный человек
1985 Знай наших!
1984 Талисман любви1982 Похождения графа Невзорова
1982 Загадка кубачинского браслета1981 Пора красных яблок
1980 Снежная свадьба
1980 Кольцо старого шейха
1979 По следам Карабаира
1978 На новом месте
1978 Любовь моя, печаль моя | Ferhat ile Şirin (СССР, Турция)
1978 В ночь лунного затмения
1978 Бархатный сезон1975 Горянка
1975 Вы Петьку не видели?
1973 Исполнение желаний
1971 Сестра музыканта
1971 Ночь на 14-й параллели
1970-1972 Взрывники
1970 Кавказец родом из Цада (документальный)
1969 Зинка (короткометражный)
1969 Адам и Хева1967 Браслет-2
1966 Девочка на шаре
1965 Иностранка
1964 Барбос в гостях у Бобика (короткометражный)
1959 Тучи покидают небо
